Aturan Rantai pada Turunan Trigonometri

martha yunanda trigonometri, turunan

Sebagaimana turunan aljabar. Pada turunan trigonometri juga berlaku turunan rantai. Meingatkan kembali Rumus dasar  turunan rantai fungsi trigonometri ini seperti berikut,

i). $ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .\sin g(x) $
iii). $ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . \csc g(x) . \cot g(x) $

Untuk turunan rantai dengan pangkat dari fungsi trigonometri ini, berlaku rumus:
i). $ y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) $
iii). $ y = \tan ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n \tan ^{n - 1 } g(x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). n. \cot ^{n -1} g(x) . \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n. \sec ^{n -1 } g(x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . n.\csc ^{n -1} g(x) . \csc g(x) . \cot g(x) $

Note: bentuk $ \cos ^{n } g(x) = [\cos g(x) ]^n $
Agar memudahkan pemahaman penggunaan rumus turunan rantai trigonometri di atas, kita akan coba aplikasikan dalam bentuk contoh soal dan pembahasan turunan rantai pada trigonometri.

Soal 1. Tentukan turunan dari $ y = \sin (3x^2 + 2x - 5) $

Pembahasan:
Kita ambil permisalan: $$ g(x) = 3x^2 + 2x - 5 \\ jadi \\ g^\prime (x) = 6x + 2 $$ Selanjutnya gunakan rumus turunan trigonometri. Sehingga kita bisa tulis. $$ y = \sin ^{n } g(x) \\ y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) \\ y = \sin (3x^2 + 2x - 5) \\ y = \sin g(x) \\ y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) \\ y^\prime = (6x + 2) . \cos (3x^2 + 2x - 5) $$

Soal 2. Tentukan Turunan dari $ y = \cot ( x^2 - x + 7 ) $

Pembahasan:
Kita ambil permisalan: $$ g(x) = x^2 - x + 7 \\ g^\prime (x) = 2x-1 $$ Selanjutnya gunakan rumus turunan rantai trigonometri, sehingga bisa ditulis $$ y = \cot ( x^2 - x + 7 ) \\ y = \cot g(x) \\ y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) \\ y^\prime = -(2x-1) . \csc ^2 (x^2 - x + 7) $$

Soal 3. Tentukan turunan dari $ y = \sec ( 5x^3 + 9 ) $

Pembahasan:
Silakan anda coba sendiri menyelesaikannya. Jika proses yang anda lakukan benar, akan diperoleh hasil: $$ y^\prime = 15x^2 \sec ( 5x^3 + 9 ) \tan ( 5x^3 + 9 ) $$

Soal 4. Turunan dari $$ a) \ y = \cos ^ 3 (2x^3 - 5x + 2) \\ b) \ $ y = \csc ^ 5 ( x^4 + 5) $$

Pembahasan:
a) Kita misalkan $$ g(x) = 2x^3 - 5x + 2 \\ g^\prime (x) = 6x - 5 $$
Gunakan rumus turunan rantai trigonometri, $$ y = \cos ^{n } g(x) \\ y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x)$$

Masukkan g(x) dan g’(x) , $$ y = \cos ^ 3 (2x^3 - 5x + 2) \\ y = \cos ^{n } g(x) \\ y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) \\ y^\prime = -(6x-5) . 3 . \cos ^{3 -1 } (2x^3 - 5x + 2) . \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ y^\prime = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) $$
Pada soal pilihan ganda, hasil akhir di atas bisa saja diubah dalam bentuk lain. Misalnya, coba ingat kembali trigonometri sudut ganda. $$ \sin 2 g(x) = 2 \sin g(x) \cos g(x) \\ \sin g(x) \cos g(x) = \frac{1}{2} \sin 2 g(x) $$ Dari hasil yang diperoleh kita bisa tulis, $$ y^\prime = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) \cos (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\cos (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) ] \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin 2(2x^3 - 5x + 2) ] \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin (4x^3 - 10x + 4) ] \\ = -\frac{1}{2}(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) . \sin (4x^3 - 10x + 4) $$

b) Untuk soal b adalah bagian anda untuk berlatih. Langkahnya silakan ikuti seperti yang a. Jika proses yang dilakukan benar akan diperoleh jawaban $$ y^\prime = -(5x^4+25) \csc ^{4} ( x^4 + 5) \csc ( x^4 + 5) \cot ( x^4 + 5) $$

Soal 5. Turunan dari fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) } $ adalah…

Pembahasan:
Kita ubah dulu fungsinya dalam bentuk pangkat$$ y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) } \\ y = [\sin (x^2 + 5x - 1)]^\frac{1}{2} $$
Selanjutnya kita buat permisalan, $$ g(x) = x^2 + 5x - 1 \\ g^\prime (x) = 2x + 5 $$
Gunakan rumus turunan rantai trigonometri lagi $$ y = \sin ^{n } g(x) \\ y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $$

Masukkan nilai g(x) dan g’(x). $$ y = [\sin (x^2 + 5x - 1)]^\frac{1}{2} \\ y^\prime = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{-\frac{1}{2}} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{\frac{1}{2}}} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) }} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = \frac{(2x + 5)\cos (x^2 + 5x - 1) }{ 2\sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) }} $$ 

Soal 6. Sebagai latihan terakhir bagi Anda, tentukan turunan dari $$y = \sqrt{ \cos ^ 5 (3x^2 - 2x ) } $$ Silakan ikuti proses seperti soal nomer 5. Bilasaja anda bisa melakukan proses dengan benar akan diperoleh hasil : $$ y^\prime = -(15x-5) \sqrt{\cos ^3 (3x^2 - 2x)} \sin (3x^2 - 2x) $$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn